Тема 2. Практичне застосування геометричних побудов

Урок 1. Спряження та правила їх виконання

Поверхні багатьох деталей на кресленнях зображають лініями, які плавно переходять одна в одну. Плавні переходи визначаються конструктивними властивостями деталей, їх технологію виготовлення, функціональними призначеннями і т. д.

Плавний перехід прямої лінії або дуги в іншу називаються спряженням. Для побудови спряження необхідно знайти його центр, з якого надалі буде проводена дуга спряження (рис. 1).

Потім необхідно знайти точки, в яких одна лінія переходить в іншу - точки спряження. При побудові контуру зображення лінії необхідно доводити до цих точок. Отже, для побудови будь-якого спряження дугою заданого радіуса необхідно знайти центр спряження і точки спряження.

Побудова спряжень ґрунтується на таких теоретичних положеннях:

1. Пряма дотична до кола, якщо вона перпендикулярна до радіуса, проведеного до точки дотику (рис. 2, а). Для проведення дотичної прямої із заданої точки А до кола з центром в точці О будують прямий кут ОКА (рис. 2, б) як внутрішній кут допоміжного кола діаметра ОА.

2. Два кола будуть дотичними, якщо точка дотику К перебуває на прямій, яка з'єднує (рис. 2, в) центри О₁ і О_г Дотик кола може бути зовнішнім (рис. 2, в) і внутрішнім (рис. 2, г)

3. Центр дуги спряження О двох кіл однакового радіуса перебуває на серединному перпендикулярі до прямої, яка з'єднує їх центри О₁ і О₂. Спряження дугою двох кіл може бути зовнішнім (рис. 35, д) і внутрішнім (рис. 2, е).

Спряження двох прямих, що перетинаються дугою заданого радіуса. Задані прямі, що перетинаються під прямим, гострим і тупим кутом (рис. 3, а). Необхідно побудувати спряження цих прямих дугою заданого радіуса R.

1. Знаходять точку О - центр спряження, який повинен бути на відстані R від сторін кута в точці перетину прямих, що проведені паралельно до сторін кута на відстані R від них (рис. 3, б).

2. Знаходять точки спряження. Для цього проводять перпендикуляри з точки О до заданих прямих (рис. 36, в).

3. З точки О, як з центра, проводять дугу заданого радіуса R між точками спряження (рис. 3, в).

Спряження двох кіл дугою заданого радіуса. Задані дві дуги радіусами R_1: і R₂.  Необхідно побудувати спряження дугою, радіус якої теж заданий.

Розрізняють два випадки дотику: зовнішній (рис. 4, б) і внутрішній (рис. 4, в); в обох випадках центри спряжень повинні бути розміщені на відстані, що дорівнює радіусу дуги спряження від заданих дуг. За загальним правилом на прямих, що з'єднують центри спряжених дуг, знаходять точки спряження.

Для зовнішнього спряження

З центрів О₁ і О₂ розхилом циркуля, що дорівнює сумі радіусів заданої дуги спряження, проводять допоміжні дуги (рис. 4, а). Радіус дуги, проведеної з центра О_1;, дорівнює R₁ + R₃, а радіус дуги, проведений з центра О₂ - дорівнює R₂ + R₃. На перетині допоміжних дуг розміщений центр спряження - точка О₃.

З'єднавши прямими лініями точку О_І з точкою О₃ і точку О₂ з точкою О₃, знайдуть точки спряження А і В (рис. 4, б).

З точки О₃ розхилом циркуля, що дорівнює R₃, між точками А і В описують дугу.

Для внутрішнього спряження

Виконують ті ж побудови, але радіус дуг дорівнює різниці радіусів R₄ – R₁ і R₄ - R₂. Точки спряження С і D лежать на продовженні ліній, що з'єднують точку О₄ з точками О₁ і О₂ (рис. 4, в).

Контрольні запитання

1. Що називають спряженням?
2. Чому дорівнює радіус спряження двох паралельних прямих?
3. Як знайти центр спряження при побудові спряження двох прямих, що перетинаються?
4. Назвіть елементи, обов'язкові в будь-якому спряженні.
5. Що є ознакою дотику прямої до кола в заданій на ньому точці?